Les phrases comprenant plusieurs verbes en japonais ?

Vaste sujet !

Je pense que l'essentiel à retenir dans un premier c'est que lorsqu'on parle de verbe placé en fin de phrase, les termes sont un peu confus. Ce qu'on entend grammaticalement par là, c'est que dans un groupe verbale, le verbe sera toujours à la fin. Le groupe verbale le plus simple étant la phrase de base Sujet + Verbe, on abrège souvent à tort l'explication en "verbe en fin de phrase".
Voilà déjà un premier point qui t'aidera peut-être, si tu es familière des termes grammaticaux.

De fait, dans le cas d'une proposition relative, c'est-à-dire un groupe verbal se rapportant à un nom, en japonais, le verbe sera placé à la fin de la proposition mais juste avant le nom. Car dans cette langue, tout ce qui est relatif à un nom, tout ce qui fait partie d'un groupe nominal se place avant ce dernier.
Par exemple : j'ai mangé la pomme que j'ai achetée.
En partant du français, le verbe principal, soit en version longue le verbe de la proposition principale, celui qu'on appelle communément "le verbe de la phrase" est "ai mangé". Néanmoins, on voit bien qu'il y a un autre verbe conjugué, celui-ci introduit par "que", pronom relatif, "ai mangé".
En japonais, cela veut donc dire que tu auras 私は買ったりんごを食べました (Watashi wa katta ringo wo tabemashita). Soit le verbe de la proposition principale "食べました" en fin de phrase et le verbe de la proposition relative "買った" juste avant "りんご" qu'il définit.

Pour reprendre les exemples que tu as donnés :
"Je rentre chez moi pour manger" : le verbe de la proposition principale est "rentre", ce sera donc lui qu'on trouvera à la fin en japonais. Dans le cas présent, il est évoqué une raison au fait de rentrer chez soi. Au même titre que dans le groupe nominal tout ce qui se rapporte au nom se trouve juste avant ce dernier, dans un groupe verbal, tout ce qui se rapporte au verbe se trouve juste avant lui. Ici, "pour manger" est un complément du verbe (introduit par la conjonction de subordination "pour"). Vu qu'il n'y a pas d'autres complément à ce verbe, "pour manger" se trouvera accolé juste avant. Soit 食べに帰りました (Tabe ni kaerimashita). Dans le cas de ce genre de complément "pour faire quelque chose", en japonais, on utilise la racine du verbe suivie de la particule に.
"J'achète ça et je m'en vais" : on est dans le cas de deux propositions indépendantes, coordonnées par la conjonction "et". Tu pourrais très bien enlevé l'une ou l'autre des actions que la phrase resterait valide d'un point de vue grammaticale. Dans ce cas là, les verbes seront chacun à la fin de leur proposition. Soit これを買って、そして行きます. En japonais, lorsqu'on a une énumération exhaustive, c'est-à-dire une liste fermée, bien définie, on utilise la forme en -te. une déclinaison des verbes qui finissent tous par て ou で.

J'espère que cette petite explication n'était pas trop fouillie et que tu y trouves des réponses !
Sache aussi qu'au même titre qu'on conjugue nos verbes de façons différentes en fonction de leur place dans la phrase, les verbes japonais vont se décliner de différentes manières.
N'hésites pas si jamais tu avais d'autres questions ! ;)